Doctora Patricia Salinas
Departamento de Matemáticas Tecnológico de Monterrey Campus Monterrey
Desde siempre he tenido una clara inclinación por la enseñanza de las matemáticas, pero debo confesar que el haberlas estudiado como carrera universitaria (Licenciatura en Matemáticas) no fue el mejor camino para aprender a enseñarlas. Una larga formación en Matemática Educativa ha sido lo que hoy me tiene aquí, tratando de esclarecer relaciones entre su tecnología y su aprendizaje.
Trabajo en una institución educativa de nivel superior que ha sido pionera en el uso de tecnología. Seguramente esto ha influido en mi desarrollo profesional. Me he interesado en la reflexión sobre el proceso de pensamiento que pueda ser generado por recursos tecnológicos y que actúe a favor o en contra del aprendizaje de esta ciencia.
Cuando veo a los estudiantes en el campus usando su laptop en jardines, bancas, pasillos, cafeterías, biblioteca y aulas, pienso en la posibilidad de hacer atractivo el conocimiento matemático por este medio… ¿Atractivas las matemáticas?… difícilmente, lo sé. Sin embargo, el que recursos tecnológicos así formen parte de nuestro día con día, ofreciendo un potencial de acceso a “otros mundos” antes tan distantes… me invita para asomarme a esta posibilidad.
No pretendo dejar la impresión de que el uso de la tecnología resuelve el problema del aprendizaje y hace atractivas las matemáticas. Creo, más bien, que, usando la tecnología, se puede modificar un tanto la actitud (generalmente negativa) de los jóvenes hacia el aprendizaje del conocimiento matemático… pero ése no debiera ser el móvil para usarla.
Ciertamente, la tecnología en la enseñanza puede tener un impacto motivacional en el estudiante, lo que redunda en aprendizaje como consecuencia; por ejemplo, recuerdo en este momento clases en que, gracias a Internet, teniendo acceso a applets (animaciones) que se proyectan en el aula, se capta la atención de los estudiantes. Esto beneficia el aprendizaje; pero, más que eso, lo que quisiera discurrir en este escrito está relacionado con una interrogante que comienza a adquirir peso en la comunidad de investigadores sobre la educación en matemáticas… me refiero a concebir que el conocimiento matemático pueda ser transformado por la presencia de la tecnología.
Esta cuestión tiene sentido cuando constatamos hechos lamentables que ocurren en el aula actualmente. La multiplicación de 7 por 8, la de 30 por 1000, la de 15 por 0 no dan lugar a respuestas automatizadas en muchos estudiantes preuniversitarios; el recurrir a la calculadora es el refugio de quienes no han automatizado este tipo de operación aritmética… ¿Habrá sido así antes?… ¿Será que siempre ha existido una buena proporción de estudiantes que no dominan este tipo de operación? ¿Será que antes de la calculadora nos obligaron a memorizar este tipo de eventos aritméticos, y después de ella ya no? ¿No será acaso que el acceso al recurso relajó la ejecución de la tarea de dominar operaciones aritméticas como éstas?
CALCULADORAS CIENTÍFICAS
Comentarios análogos caben con el uso de tablas de logaritmos y de funciones trigonométricas… La llegada de las calculadoras científicas simplificó aquel proceso manual de utilizar tablas de valores impresas, o de utilizar la “práctica” regla de cálculo que se portaba en el bolsillo. No tardó la calculadora científica en reclamar su lugar en las aulas escolares, lo que representó el alivio de una “memoria externa” para estas nuevas operaciones y para las aritméticas también.
Pocos estudiantes pueden expresar, sin ayuda de su calculadora científica, que el coseno de 180 grados sea igual a -1, o que el seno de 90 grados sea 1… pocos, muy pocos, reconocen que el logaritmo natural de e es 1 y que el de 1 es 0.
No quiero ahora dejar la impresión de que saber matemáticas es responder al instante este tipo de preguntas… no es ésa mi intención. Lo que quiero es más bien poner “sobre la mesa” un hecho que puede estarse dando en la educación en matemáticas, en el que no hemos pensado como un problema educativo: los recursos tecnológicos han llegado a nuestras aulas sin que tengamos ocasión de hacer una seria reflexión sobre cómo estos recursos repercuten en el aprendizaje de un currículo que fue establecido antes de su aparición.
La realidad del rápido surgimiento y mejora de estos recursos forzó a que el universo de profesores, cualquiera que sea el nivel educativo que estemos considerando, se viera obligado a aceptar su llegada de un día para el otro. Yo entiendo que difícilmente podíamos haber dado la bienvenida a estos recursos con un plan bien pensado para su integración al currículo, y más aún, con un espíritu de investigación para medir las fronteras de su impacto en beneficio del aprendizaje de las matemáticas.
MATEMÁTICA EDUCATIVA
El problema es realmente difícil. ¿Era ésta una responsabilidad de los profesores? ¿Se trataba de un problema de capacitación de profesores? La verdad, pienso que hasta ahora estamos en condiciones de mirar con una “lupa” adecuada un problema tal, una vez que la disciplina de la Matemática Educativa ha reclamado para sí, como objeto de estudio propio, los fenómenos que acontecen en el proceso de enseñar-aprender matemáticas.
Para mi caso, como profesor de cursos de cálculo, resentí además la llegada de las calculadoras con capacidad de graficación; pero, más que calculadoras, yo preferiría considerar actualmente las computadoras y el uso de software especializado en la graficación de funciones, con lo que se agrega al ambiente gráfico un componente de uso de colores que, siendo bien utilizados, pueden favorecer el aprendizaje. ¿Qué sucedió con la llegada de estos recursos? Antes de responder, quisiera aclarar algo sobre la historia del cálculo y los textos de cálculo, por su importante impacto pedagógico.
TEXTOS DE CÁLCULO
Existe una enorme cantidad de libros de texto de cálculo, estadounidenses, utilizados tradicionalmente en nuestras universidades mexicanas. Son traducciones al español de alguna de estas obras. Si uno hojea estos libros, puede observar que las diferencias entre ellos prácticamente no existen; todos muestran un contenido del cálculo, estructurado conforme a un rigor característico de una etapa de fundamentación de esta rama de la matemática.
En esta etapa, las nociones y procedimientos que originalmente fueron concebidos y utilizados para la solución de problemas reales relacionados con el cambio, la variación y la acumulación de magnitudes, tuvieron que ser “descontextualizados”; es decir, privados de su significado real. Así es como ahora resulta normal encontrar que los libros de texto de cálculo tratan simplemente con el manejo de letras (variables); tradicionalmente “x e y”. Éste era el camino necesario para liberar a ese cálculo práctico, que resuelve problemas, de los ataques contra su ambigüedad; de esa falta de precisión que ponía en tela de juicio su validez como sistema teórico. Debo aclarar que esta información ha sido fruto de la investigación de corte epistemológico en Matemática Educativa, un tema de crucial importancia didáctica, pero que excede la intención del presente escrito.
Por ahora, partiendo de lo dicho, reconozcamos el orden tradicional que nos ofrecen estos productos estadounidenses, a los que hemos confiado la enseñanza y aprendizaje del cálculo. Sus índices “suenan” más o menos así: Números Reales, Funciones, Límites, Continuidad, Derivada, Aplicaciones de la Derivada, Integral y Aplicaciones de la Integral; esto, en cuanto a la teoría de funciones de una variable.
También, como fruto de la investigación educativa, se ha observado que esos libros (o sus traducciones) influyen en una práctica docente simple, que consiste en seguir el orden de presentación de los conceptos y enfatizar sobre todo en el dominio de procedimientos de solución de los ejercicios que aparecen al final de cada capítulo. Con esto, se prolonga hasta el nivel universitario una práctica que, a nuestro juicio, inicia desde la escuela primaria, donde nos acostumbramos a “ejercitar” nuestro conocimiento matemático… igualando a ello su aprendizaje.
En efecto, se ha dejado la impresión de que aprender matemáticas es extenuarse en resolver ejercicios repetitivos mediante procedimientos de corte algebraico que se van complicando a medida que se va avanzando en el número correspondiente al ejercicio.
Pues bien, volviendo a la tecnología, con la llegada del software de graficación, los libros se llenaron de gráficas ahora con más colores, y se anexaron tablas numéricas que las acompañan, pero sin modificar el orden de presentación de los contenidos. Si acaso, se notan reediciones de los mismos textos, en los que su capítulo inicial ofrece un panorama gráfico del universo de funciones que serán tratadas en el libro, por la posibilidad actual de introducir las gráficas de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas accesibles mediante el software. Los títulos de estas “variaciones” del texto original incluyen expresiones como funciones trascendentales tempranas.
LA PRÁCTICA EN EL AULA SIGUE IGUAL
Pero la práctica en el aula no cambia; se recorren los capítulos de esos libros que presentan un contenido matemático que se percibe ajeno a la problemática real; por ejemplo, la derivada de una función en cierto valor de x es el límite cuando h tiende a 0 del cociente de las funciones (que dependen de h) f(x+h) – f(x) y h. En este discurso, formal y riguroso, la idea inicial de lo que la derivada informa sobre una magnitud (y) que está cambiando con respecto a otra (x), queda escondida.
Con otros colegas del Departamento de Matemáticas del Tec, Campus Monterrey, hemos trabajado en un nuevo acercamiento al cálculo, en donde se rescatan ideas iniciales de su surgimiento, promoviendo que los estudiantes identifiquen el uso del cálculo como herramienta para entender los fenómenos que estudiarán en las materias de su especialidad profesional. En esta práctica docente hemos reconocido la importancia de contar con un lenguaje gráfico que permita interpretar el comportamiento de las magnitudes bajo estudio.
Uno pudiera pensar que obtener la gráfica de una función, ante el potencial de graficación de los recursos tecnológicos, resulta ser una tarea simple que no amerita razonamiento más avanzado que el necesario para introducir la expresión algebraica en el recurso. Sin embargo, la reflexión sistemática sobre lo que ocurre con los diferentes tipos de recursos existentes y los estudiantes, y sobre el apoyo y retroalimentación que estos recursos ofrecen para el aprendizaje del acercamiento al Cálculo que estamos practicando, me hacen compartir en este escrito dos claras ventajas que he encontrado en el uso de la tecnología para el logro del aprendizaje de las matemáticas.
VENTAJAS TECNOLÓGICAS
La primera, es en relación a la capacidad de expresión que se puede adquirir con el uso de los recursos tecnológicos. Me ha tocado conocer estudiantes que, en su presentación manual de una tarea, dejan mucho qué desear en cuanto a organización, limpieza y claridad en sus procedimientos.
He observado que esos mismos estudiantes son capaces de expresar su procedimiento con mayor organización cuando tienen que elaborar una tarea en un procesador de textos, donde se deberá argumentar la toma de una decisión al haber integrado la información obtenida mediante el recurso numérico de una hoja de cálculo y la gráfica que deben importar de un software de graficación. He coleccionado trabajos de estudiantes de primer semestre universitario, que me son agradables a la vista y disfrutables intelectualmente; y a través de ellos he entendido que la tecnología nos brinda la oportunidad de organización de nuestro propio pensamiento cuando lo tenemos reflejado en la pantalla… como un espejo que retroalimenta nuestra cognición.
La segunda ventaja que he encontrado es respecto al uso de software de graficación en particular. He tenido la oportunidad de probar con diferentes productos, acompañando la presentación del contenido de nuestra propuesta de acercamiento al cálculo. Estos recursos pueden variar en cuanto al tipo de respuesta que se obtiene y el tipo de acción que requieren del usuario para obtenerla.
En efecto, no es lo mismo teclear una función en su representación algebraica y obtener con un clic una imagen estática de su gráfica, que obtener una representación dinámica de la gráfica recorrida a lo largo del eje horizontal. No es lo mismo utilizar un graficador que en un clic me dibuja en el mismo sistema coordenado la función derivada de la función que fue introducida algebraicamente, que utilizar un graficador que presenta dos sistemas coordenados ajenos que se encuentran coordinados para exhibir la gráfica de la función y la de su función derivada simultáneamente. No es lo mismo teclear la función en su representación algebraica y modificar dicha representación en algún parámetro para observar luego el efecto que produce en su gráfica, que tener una imagen gráfica que es manipulable de manera dinámica mediante el cursor que se posiciona sobre ella, y permite observar diferentes efectos.
Como estos ejemplos hay otros más que me han cuestionado sobre el tipo de acciones cognitivas que se desatan con estos recursos tecnológicos, y sobre la conveniencia de su uso para desencadenar el aprendizaje de ciertos contenidos matemáticos. La interacción que se promueve entre profesor y estudiantes, y entre estudiantes que trabajan en pares con su laptop en el aula, me hacen reconocer el poder de interacción de estos recursos tecnológicos con el contenido matemático en sí.
Las ideas que los estudiantes expresan; los “descubrimientos” que ellos perciben; ese ir “más allá” que el recurso les provoca, me hace reconocer su aportación como apoyo para fortalecer las ideas de variación y cambio que queremos promover.
TEORÍA DEL CÁLCULO
Quiero resaltar finalmente que el razonamiento variacional apoyado en la gráfica de una función y de su función derivada, se han convertido en un recurso cognitivo para inducir importantes resultados de la teoría del cálculo, resultados que en el currículo tradicional se incluyen en el capítulo final de Aplicaciones de la Derivada.
El uso de las gráficas como argumento funciona como el medio para plantear la plausibilidad de resultados generales de la teoría; por ejemplo, los teoremas reconocidos como criterios de la primera y segunda derivada para la detección de máximos, mínimos y puntos de inflexión en la gráfica de una función. En este tipo de consecuencias del uso de tecnología, veo más real la posibilidad de repensar el currículo tradicional.
ACTITUD DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN CIENTÍFICA
Cuando surgieron estos recursos de graficación, la tendencia inmediata fue negar su acceso al aula y al examen. Aún continúa muy presente esta posición que descalifica el potencial de estos recursos para producir aprendizaje. Claro está que el atreverse a ver en ellos un aliado para el estudiante en el proceso cognitivo para aprender cálculo exige del profesor una actitud de investigación que también requiere una formación científica.
Aún el día de hoy se continúa dando de manera persistente la acentuación de procedimientos algebraicos repetitivos en la enseñanza y el aprendizaje del cálculo, defendiendo textos que presentan un enfoque tradicional adornado con gráficos. Por otro lado, la innovación, apoyada en la investigación educativa, ya está generando cambios que lucen prometedores de un contacto más amigable del estudiante con el cálculo, y en ellos la tecnología juega un papel determinante.
Me pregunto si dar la oportunidad a la tecnología de ser aliada del aprendizaje del cálculo pueda funcionar como una estrategia para anular la defensa de un currículo establecido desde hace más de 40 años.
