Doctor Juan Antonio Alanís Rodríguez
Profesor de Tiempo Completo Departamento de Matemáticas Tecnológico de Monterrey
juan.antonio.alanis@itesm.mx
La vida no es la que uno vivió, sino la que recuerda y como la recuerda para contarla.
Gabriel García Márquez
Con este artículo no pretendo presentar la historia de la enseñanza de las matemáticas. Sólo pretendo presentar una reflexión que he realizado sobre cierta parte de esa historia que ha determinado lo que he hecho, lo que actualmente hago y lo que potencialmente haré como profesor de una de las ramas más importantes de las matemáticas, conocida con el nombre de cálculo o cálculo infinitesimal. Se espera que dicha reflexión sea de utilidad para aquéllos que enseñan no solamente cálculo, sino cualquier otra rama de las matemáticas, ya que la enseñanza de todas ellas ha corrido prácticamente la misma suerte.
Hasta donde tengo memoria, siempre quise ser profesor, así que, terminada mi educación secundaria, tenía pensado entrar a la Normal de mi estado natal y, poste-riormente, a la Normal Superior, pero no recuerdo en qué momento decidí ser profesor sólo de matemáticas.
Finalmente no entré a la Normal. Me inscribí en la Preparatoria, aconsejado en el sentido de que una carrera universitaria sería una mejor opción; total, si mi deseo era enseñar matemáticas, lo haría, como muchos universitarios lo hacían, en los niveles medio superior y superior.
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Terminada la Preparatoria, entré a la Facultad de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Nuevo León a estudiar una de las carreras más promisorias de aquella época, finales de los años sesenta del siglo pasado; pero al año decidí cambiarme a la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y estudiar la licenciatura en matemáticas, que terminé en el año de 1973. En gran parte, esa decisión la tomé porque, según se decía, tal licenciatura preparaba a sus egresados, entre otras cosas, como profesores de matemáticas… “lo curioso” es que su plan de estudios sólo contemplaba cursos de matemáticas.
Entrecomillo lo de curioso porque, en realidad, en aquella época predominaba, al menos en el medio universitario, la creencia de que bastaba un buen dominio de las matemáticas y cierta intuición didáctica para bien enseñar esta ciencia; incluso para determinar qué enseñar de ella y cómo hacerlo. Entre los normalistas era otra la creencia: se puede enseñar lo que sea… siempre que se tenga una buena formación pedagógica.
En 1974 comencé a dar clases en la misma facultad, de la ya para entonces autónoma Universidad de Nuevo León, de la cual egresé.
Dada la formación matemática que recibí, acorde al paradigma formalista de aquella época, conocida como la de la Matemática Moderna, en los primeros cursos que dicté presentaba las matemáticas ya como un sistema conceptual lógicamente estructurado o ya como un lenguaje formal.
Pensaba que el estudiante entendía un concepto con sólo darle su definición en términos de otros conceptos previamente definidos; que el estudiante comprendía un resultado al presentarle su demostración (su deducción lógica a partir de otros resultados previamente demostrados), y que tal entendimiento y tal comprensión le permitirían aplicar las matemáticas.
MISMA PRESENTACIÓN
El caso es que los cursos que impartía eran para futuros “matemáticos” y lo que menos importaba en ellos eran las aplicaciones. Éstas eran (se decía) como “ensuciarse las manos”.
Sin embargo, la forma en la que presentaba las matemáticas era la misma que prevalecía en todas las demás carreras universitarias, en las que contenidos de esta ciencia (las matemáticas) formaban parte de sus planes de estudio. Los contenidos de los cursos de cálculo diferencial, por ejemplo, dan muestra de ello: números reales, funciones, límites, continuidad, derivadas y aplicaciones de la derivada.
Como vemos, las aplicaciones (la utilidad de lo estudiado) aparecen hasta el final de los cursos, siendo que en esas carreras eso es lo más importante; de hecho, el objetivo de esos cursos es precisamente que los estudiantes apliquen la matemática aprendida… sin embargo, los datos empíricos disponibles prueban que tal objetivo no era alcanzado.
ALTO PORCENTAJE DE REPROBADOS
En esos cursos, el porcentaje de alumnos reprobados era muy elevado, y muchos de los que los acreditaban lo hacían sin una comprensión cabal de lo aprendido. Como consecuencia de ello, una inmensa mayoría de los estudian-
tes piensa que las matemáticas son aburridas, difíciles de aprender y de poca o nula utilidad. Tal situación no se presentaba en mis cursos, no al menos de manera gene-ralizada; y no porque mis cursos fueran diferentes, sino por el tipo de estudiantes, que en su mayoría eran de la licenciatura en matemáticas.
En Estados Unidos, país del cual heredamos tardíamente la Reforma de la Matemática Moderna, ya se escuchaban voces de protesta contra dicha reforma. Unos re-clamaban volver a lo básico, como si lo que anteriormente se hacía hubiera valido la pena como para regresar a ello.
El caso es que no era así. Por eso surgió la reforma como una respuesta, aunque fallida, a una situación no deseada en la que si bien los estudiantes podían realizar algoritmos o procedimientos en general, lo hacían mecánicamente, sin la comprensión necesaria como para aplicarlos en situaciones distintas a aquéllas en que los “aprendieron”.
Otros planteaban cambios fundamentales en el qué enseñar, en los que la historia de las matemáticas juega un papel muy importante. Digno de mencionarse es el libro El fracaso de la matemática moderna, en el que Morris Kline hace una certera crítica a la Reforma de la Matemática Moderna y en el cual se vislumbran esos cambios en los contenidos de la enseñanza de las matemáticas.
Este libro de Morris Kline y los libros La matemática: su contenido, métodos y significados y De qué trata el cálculo, el primero escrito por Aleksandrov, Kogomorov y otros prestigiados matemáticos de la ex Unión Soviética, y el segundo por el inglés W. Sawyer, han sido un parteaguas en mi carrera de profesor de matemáticas. Influenciado por la lectura de esos libros, empecé a darles cabida en mis cursos a otros rasgos de las matemáticas distintos de lo formal y lo riguroso.
MATEMÁTICA MODERNA
Algo que me impactó del libro de Kline es la frase de Johann Wolfgang Goethe, que usa como epígrafe inicial: “Yo pregunto si es natural, si es incluso prudente, que te hastíes a ti mismo y aburras a los estudiantes”. Era una alusión directa a los profesores que enseñaban la Matemática Moderna. Bueno, en mi caso yo no me hastiaba; por el contrario, disfrutaba; pero, ¿y mis estudiantes?
El libro termina señalando que la formación de buenos profesores es más importante que el plan de estudios… un mal profesor y un buen plan de estudios darán una mala enseñanza, mientras que un buen profesor superará las deficiencias de cualquier plan.
Pero ¿qué significaba en aquel entonces ser un buen profesor? En México seguíamos prácticamente en las mismas: tener un buen dominio de las matemáticas y cierta intuición didáctica o tener una buena formación pedagógica.
En tal sentido, por una parte, organismos tales como la Sociedad Matemática Mexicana; instituciones de educación superior, como la Universidad Nacional Autónoma de México, y centros de investigación, como el Centro de Investigación y Estudios Superiores del Instituto Politécnico Nacional, ofrecían cursos, diplomados y posgrados para elevar el nivel matemático de los profesores.
Por otra parte, recuerdo el Programa Nacional de Formación de Profesores, con el cual la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior pretendió dar a los profesores de los niveles medio superior y superior, entre ellos a los profesores de matemáticas, la formación pedagógica necesaria para bien realizar su quehacer docente. Se pensaba que una buena distribución de objetivos y una buena metodología eran suficientes para que el alumno aprendiera.
En cuanto al libro de Aleksandrov, Kolmogrov y otros, diré que con su lectura empecé a dejar de ver a las matemáticas como un conjunto de conocimientos acabados y cristalizados en teorías; me di cuenta de que desconocía la actividad matemática y que sólo conocía el fruto final de esa actividad. Dejé de reducir el conocimiento matemático a lo que puede deducirse de un conjunto finito de proposiciones trivialmente verdaderas (axiomas) y que pueden enunciarse utilizando únicamente términos perfectamente conocidos (términos primitivos).
DIDACTA ESPAÑOL
En realidad, tomé “plena” conciencia de lo anterior mucho tiempo después de haber leído ese libro, a finales de los años setenta del siglo pasado; de hecho, en párrafos anteriores he retomado frases de un artículo que leí en años más recientes, titulado “Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes”, escrito por el didacta español de las matemáticas, Josep Gascón.
Pero para ver que eso ya estaba enlarvado en la lectura de La matemática: su contenido métodos y significado, voy a reproducir un texto de ese libro: “Situar una teoría sobre una base firme requiere el examen de todo su desarrollo, y dicha base no debería ser considerada de modo alguno como punto de partida para la teoría misma, puesto que, si éste no existiera, no sabríamos qué es lo que se necesita ser fundamentado. De paso diremos que ciertos formalistas contemporáneos olvidan este hecho cuando consideran aconsejable fundar y desarrollar una teoría partiendo de axiomas que no se han seleccionado sobre la base de un análisis real de lo que ellos pretenden sistematizar. Los axiomas mismos requieren una justificación de su contenido; ellos no hacen sino sintetizar el material disponible y suministrar la base para la construcción lógica de una teoría”.
Respecto al libro de Sawyer, como su nombre lo indica, me dio una idea más completa de lo que trata el cálculo. Claro que, como buen inglés, Sawyer centra la atención en la versión newtoniana de cálculo; es decir, como la rama de las matemáticas que estudia el cambio. Con la lectura de ese libro nació en mí la idea de que el movimiento es el contexto idóneo para iniciar esa rama de las matemáticas que actualmente enseño.
Con estos antecedentes, en 1980 entré a estudiar la maestría en Matemática Educativa, que ofrecía la Sección de Matemática Educativa del Departamento de Investi-gación Educativa del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional.
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
La enseñanza de las matemáticas, considerada no como un arte, sino como una actividad que pretende adquirir el calificativo de científica, ha recibido distintos nombres según el país o región del mundo en que se practique. En México se le llama Matemática Educativa; en Francia y España, Didáctica de las Matemáticas, y en Estados Unidos e Inglaterra, Educación Matemática.
La Matemática Educativa es una nueva disciplina científica que intenta describir, explicar y predecir los fenómenos que ocurren en un sistema didáctico cuando alguien pretende que otros se apropien del saber matemático construido socialmente en ámbitos no didácticos. Como toda ciencia, la Matemática Educativa está en constante evolución. Un logro muy importante de la primera etapa de su desarrollo fue el desterrar la creencia de que un buen dominio de la matemática, combinado con una intuición didáctica natural, es el único requisito para enseñar matemáticas, definir el contenido del curriculum, crear métodos de enseñanza y escribir buenos libros de texto.
Quienes tenían o tienen esa creencia, desconocen la investigación psico-didáctica o no consideran que sea útil para manejar la educación matemática. Sin embargo, dicha investigación ha demostrado, por ejemplo, que existen serias dificultades en la enseñanza, si no se toman en cuenta los procesos cognitivos que los estudiantes ponen en juego cuando intentan aprender matemáticas.
MARCOS TEÓRICOS
Existen marcos teóricos que intentan explicar esos procesos; en mi tesis de maestría usé uno de ellos para explicar las serias dificultades que tienen los estudiantes en el aprendizaje de los límites, un concepto clave en la estructuración de una de las ramas más importantes de las matemáticas: el cálculo.
En esta primera etapa, la Matemática Educativa fue una disciplina normativa, más que explicativa. Era un saber técnico fundamentado en otras disciplinas, particularmente en la psicología y la pedagogía. La atención estaba puesta en el alumno (el aprendizaje) y en el profesor (la enseñanza)… no importaba el contenido a enseñar.
Si bien empezaron a proliferar propuestas de enseñanza-aprendizaje fundamentadas en los resultados de la investigación realizada en aquella primera etapa de la Matemática Educativa, la situación seguía siendo prácticamente la misma: altos porcentajes de reprobados, aprendizaje sin comprensión y desprecio por las matemáticas por parte de los estudiantes.
El caso es que las causas de los nada halagadores resultados de la enseñanza tradicional de las matemáticas (las explicaciones de los fenómenos didácticos) no son sólo de carácter psico-pedagógico, sino también de carácter epistemológico. En tal sentido, en una segunda etapa, la Matemática Educativa reconoce como algo fundamental problematizar el propio conocimiento matemático; es decir, no considerarlo como “transparente”: allí está y sólo tiene alguien que enseñarlo para que otros lo aprendan.
TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA
Ives Chevallard, otro de los grandes didactas franceses, tiene toda una teoría sobre la incorporación a la Escuela de los saberes matemáticos, conocida como Teoría de la Transposición Didáctica.
Podemos decir que gran parte del trabajo del didacta de las matemáticas es vigilar el proceso de transposición de los saberes matemáticos de la esfera de quienes los producen a la esfera de quienes los enseñan. En tal sentido, resulta indispensable para el diseño de propuestas de enseñanza-aprendizaje de un concepto matemático el conocer las condiciones que permitieron su origen y desarrollo.
Este conocimiento sobre la Didáctica Fundamental lo obtuve entre 1993 y 1996. Fue parte de la información que recibí en el doctorado en Matemática Educativa que realicé en la misma institución en la que había hecho la maestría en la misma especialidad. Mi tesis doctoral sentó las bases para el diseño de un nuevo discurso escolar del cálculo, en el cual se rescatan ideas que llevaron a Newton a la invención de esa rama de las matemáticas cuando es considerada como el estudio del cambio.
Un estudio de carácter epistemológico me llevó a establecer a la predicción como un hilo conductor para el desarrollo de ese nuevo discurso. Construir una respuesta cada vez más elaborada a la pregunta: “¿cuál va ser el valor de una magnitud que está cambiando?” permite el surgimiento y evolución de los procedimientos, conceptos, relaciones y argumentaciones propias del cálculo.
Un colega del Tecnológico de Monterrey, doctor Ricardo Pulido, hizo un trabajo similar, pero rescatando ideas que llevaron a Leibniz a la invención del cálculo como un método para resolver los problemas geométricos de determinar la recta tangente a una curva, el área de una superficie y volumen de un sólido, método en el cual las curvas, las superficies y los sólidos son concebidos como compuestos por un número infinito de partes infinitamente pequeñas… sus diferenciales.
En los últimos años, un grupo de profesores del Tecnológico de Monterrey trabajamos en la elaboración de una propuesta de qué y cómo enseñar cálculo, en la que integré didácticamente las versiones newtoniana y leibniziana. En un artículo que escribí para esta revista, menciono los resultados positivos de esta propuesta, no sólo en lo cognitivo, sino, y ante todo, en lo actitudinal. En realidad, como suele suceder casi con cualquier cosa, la propuesta no está del todo acabada; está en un proceso de desarrollo continuo, enriquecido por los resultados de la investigación en Didáctica de las Matemáticas.
A propósito es precisamente con la Didáctica Fundamental con la que se lanza un grito de independencia de la Didáctica de las Matemáticas de las demás ciencias, de las cuales había sido subsidiaria, incluso de la Didáctica General, al reconocerse que la explicación de los fenómenos didácticos no podía hacerse al margen del saber específico a ser enseñado-aprendido, en nuestro caso el saber matemático.
Actualmente existen muy diversos programas de investigación. Los hay desde los que, sin dejar de considerar los aspectos cognitivos, centran más su atención en lo que concierne al saber matemático puesto en juego; hasta los que, sin dejar de tomar en cuenta el saber matemático puesto en juego, centran más su atención en los aspectos cognitivos… epistemológicos y cognitivos, respectivamente. Es como se les conoce a estos programas de investigación.
Muchos de los programas epistemológicos tienen como antecedente a la didáctica fundamental. Éste es el caso particular del programa de investigación del grupo de investigación del Área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, programa de investigación en el cual realicé mi tesis doctoral.
Para finalizar esta reflexión, voy a comentar cómo el programa de investigación de ese grupo de matemáticos educativos trasciende al de la Didáctica Fundamental. Al principio, sus trabajos, siguiendo a ésta, intentaban explicar los fenómenos didácticos concibiendo al sistema no como dividido en subsistemas: el del alumno, el del profesor y el del saber, sino considerando las relaciones sistémicas que se dan entre ellos; y, considerando como indispensable para la reconstrucción de un concepto matemático en la Escuela, las significaciones que permitieron su origen y desarrollo.
En relación a esto último se dieron cuenta que, para ciertos conceptos, tales significaciones no son propicias para recrearse en la Escuela, pues resultan más complejas que el concepto que se desea reconstruir. Esto los llevó a considerar, en caso necesario, a otras prácticas de referencia, social y culturalmente más accesibles a los estudiantes, en las que la matemática escolar adquiera sentido y significación.
Cabe aclarar que ese grupo de investigadores concibe a las prácticas no como lo que hacen las personas, sino como aquello que les hacer lo que hacen. En el caso del cálculo newtoniano, fue la práctica de predecir lo que hizo que Newton y sus seguidores hicieran lo que hicieron.
A esta nueva aproximación sistémica y situada, que permite incorporar los cuatro componentes fundamentales en la construcción de conocimiento (epistemológica, cognitiva, didáctica y sociocultural) se le conoce como la aproximación socioepistemológica a la investigación en Matemática Educativa.
Éste es el camino que he recorrido, o, para parafrasear a García Márquez, como lo recuerdo para contarlo.
